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勒讓德多項式

一、基本定義及性質(zhì)

勒讓德多項式是表述矩形表面和口徑的一組多項式集合，其優(yōu)點是在矩形區(qū)域內(nèi)具有正交性，它的數(shù)學描述如下：

式中，，，c_n代表其各項系數(shù)。從圖像上看，它是一個類似正弦函數(shù)的波動函數(shù)，下圖為幾個低階的勒讓德多項式：

性質(zhì)（一）：正交性

該多項式在[-1,1]的矩形區(qū)域內(nèi)正交：。

性質(zhì)（二）：奇偶性

n為偶數(shù)時Pn(x)為偶函數(shù)，n為奇數(shù)時Pn(x)為奇函數(shù)，奇偶性成立：。

二、主要用途

通常情況下，在干涉檢測中常用澤尼克多項式作為面形擬合函數(shù)，它是一種僅在圓形光瞳上正交的序列函數(shù)，但卻不適用于柱面鏡面形或方形鏡面形的面形擬合，而勒讓德多項式是一組可在[-1,1]的矩形區(qū)域上正交的序列函數(shù)，它的這種正交性滿足了柱面或矩形對稱區(qū)域的特點，故可以用勒讓德多項式來對柱面鏡面和方形鏡面等進行面形擬合。

三、我司在勒讓德多項式方面的研究成果

目前我司常用的有兩款干涉測量軟件，分別是相移干涉測量軟件PhaseSight和SwordPro移相干涉測試軟件。PhaseSight是一代64位集成軟件包，可配合多種相移干涉儀使用，現(xiàn)支持傳統(tǒng)的PZT移相、波長調(diào)諧移相和偏振同步移相三種模式；SwordPro是本公司開發(fā)的PSI移相干涉測試軟件的全新升級版，其支持兩種移相驅(qū)動方式和多種圖像采集方式。

兩款軟件均功能多樣，操作簡單實用，測量結(jié)果精確，都可通過勒讓德多項式對測量數(shù)據(jù)進行波面擬合，適用于不同口徑的矩形、方形、柱面形等元件的高精度透射、反射及面形的測量。

測量方形元件時，干涉測量軟件能夠通過勒讓德多項式對測量數(shù)據(jù)進行面形擬合。通過擬合前后結(jié)果對比分析，我們可以得知，利用勒讓德多項式擬合的面型比較完美的符合被測方形元件的面型，其面型檢測指標PV值、RMS值等也均符合要求。

我司在勒讓德多項式方面的研究于國內(nèi)首屈一指，其擬合結(jié)果不僅能夠精確到小數(shù)點后六位之多，其系數(shù)數(shù)值的準確度更與ZYGO保持一致。同時，其軟件運算速度更是ZYGO軟件的2倍有余，運算結(jié)果精確、運算速度更快。

此外，勒讓德多項式還可以與賽德像差對應，如多項式的第二項和第三項（L₁和L₂）代表傾斜項，第四項和第六項（L₃和L₅）代表離焦項等。它為有選擇的單獨處理各像差系數(shù)，優(yōu)化系統(tǒng)性能提供了有效方法。